Całkowanie numeryczne

https://gsw.gda.pl/content/calkowanie-numeryczne

Skrypt obejmuje całą gamę metod numerycznego obliczania całek oznaczonych, opartych na znajomości rzędnych funkcji podcałkowej w zadanych punktach. Są to metody równokrokowe Newtona-Cotesa, jak wzór trapezów, Simpsona i inne, wzory Czebyszewa o stałych mnożnikach rzędnych czy wzory Gaussa o najwyższych rzędach dokładności. Omówiono sposoby zwiększania dokładności obliczeń, w tym metodę Romberga, polegającą na połowieniu kroku całkowania, zapewniającą zazwyczaj dużo dokładniejsze wyniki, niż wzory Newtona-Cotesa. Omówiono metodę prostokątów, dokładniejszą od metody trapezów, dającą błąd dwukrotnie mniejszy przeciwnego znaku. Omówiono całkowanie funkcji nieregularnych (osobliwych) z wagą.

Skrypt omawia także specjalne metody całkowania, jak całkowanie funkcji okresowych o zmiennej amplitudzie, całkowanie za pomocą planimetru czy krzywych giętkowych, zwykle pomijane w literaturze. Wreszcie, na koniec omówiono ścisłe obliczanie niektórych całek z ominięciem funkcji pierwotnej.

Spis treści

Całkowanie numeryczne … 7
§ 1. Wstęp … 8
§ 2. Metoda Lagrange'a … 9
§ 3. Rozwijanie w szereg … 15
§ 4. Wzory najwyższej dokładności … 24
§ 5. Całkowanie funkcji regularnych … 28
§ 6. Wzory Newtona-Cotesa … 32
§ 7. Wzór trapezów … 37
§ 8. Wzór Simpsona … 40
§ 9. Zwiększenie dokładności obliczeń … 43
§ 10. Metoda Romberga … 47
§ 11. Wzory 5–8 … 51
§ 12. Uogólniony wzór paraboliczny … 55
§ 13. Obliczanie krzywych całkowych … 57
§ 14. Wzory Czebyszewa … 60
§ 15. Metoda prostokątów … 68
§ 16. Wzory Gaussa … 72
§ 17. Całkowanie w bazie Czebyszewa … 79
§ 18. Metoda interpolacji Czebyszewa … 86
§ 19. Całkowanie funkcji osobliwych metodą Gaussa … 91
a) Wzory Czebyszewa I … 91
b) Wzory Czebyszewa II … 97
c) Wzory z wagą [x/(1 – x)]^1/2 … 102
d) Wzory z wagą (1 – x)^1/2 … 106
e) Wzory z wagą (1 – x)^–1/2 … 110
§ 20. Całkowanie w przedziale nieskończonym … 114
a) Wzory Laguerre'a … 114
b) Wzory Hermite'a … 117

Specjalne metody całkowania … 123
§ 21. Całkowanie tłumionych funkcji okresowych … 124
§ 22. Planimetr … 130
§ 23. Krzywe giętkowe … 130
a) Interpolacja trójpunktowa … 133
b) Analiza ugięcia giętki … 140
c) Interpolacja wielopunktowa … 144
§ 24. Obliczanie całek z ominięciem funkcji pierwotnej … 147
a) Sprowadzanie do całki zależnej od parametru … 148
b) Podnoszenie całki do kwadratu … 149
c) Sprowadzanie do równania … 150
d) Całki Froullaniego … 150
§ 25. Całkowanie jednomianu tłumionego … 155

Dodatek matematyczny … 167
§ 26. Własności wielomianów Legendre'a … 168
§ 27. Własności wielomianów Laguerre'a … 173
§ 28. Własności wielomianów Hermite'a … 177
§ 29. Tożsamości przydatne w zastosowaniach … 182
a) Definicje … 182
b) Tożsamości trygonometryczne przydatne w całkowaniu … 182
c) Użyteczne rozwinięcia … 182
d) Momenty funkcji sinus i kosinus … 183

Literatura … 185